무한의 신비 : 수학,철학, 종교의 만남

책소개

 

1918년 정신병동에서 쓸쓸한 죽음을 맞은 칸토어에 대한 이야기를 바탕으로 무한의 이론과 개념에 대해 논하고 있는 책. 그것은 단순히 한 개인의 수학적 연구를 규명하는 차원에서 그치는 것이 아니라, 고대 카발라와 수비학까지 이르는 심히 비밀스럽고도 은밀한 무한에 대한 본질적인 것을 논하고 있다. 역사적 상황과 사실을 바탕으로 무한의 옷자락을 들추고자 하였던 사람들은, 고대 카발리스트나 칸도어와 괴델같은, 모두 정신병자가 되어버렸거나 죽음을 맞이하였다. 중세 이전까지는 무한은 신의 영역이라고 규정지었고 그에 도전하는 것은 곧 신의 위업에 도전하는 것과 같이 여겼다. 그들은 신의 위업에 도전하고자 하여 벌을 받은 것일까.

칸토어는 어떻게 무한에 관한 이론을 세웠는지, 그의 선구적인 업적의 영향력과 결과는 우리 세계의 미래를 어떻게 바꾸게 될 것인가에 대한 질문은 아직도 끊이지 않고 있다. 그는 처음 이 이론을 발표하고자 하였을 때 10년이라는 시간을 두고 망설였었다. 그리고 이 이론이 발표된 후에도 스승과 동료들에게 끊임없는 비난을 받았다.

칸토어의 천재성을 촉발시킨 영감은 수학에 그 뿌리를 두고 있지만, 그 의미는 아직도 다 풀리지 않았다. 다만 1947년에 사망한 쿠르트 괴델이 칸토어의 연속체 가설이 다른 수학과 독립적이라는 것을 증명했고, 그로써 수학의 기초는 그 자체가 흔들리게 되었다.

칸토어의 무한 이론은 겉보기에 모순 되는 것으로 유명하다. 예를 들어, 우리는 1인치 길이의 직선상에 있는 점의 수가 1마일 길이의 직선상에 있는 점의 수와 동일하다는 것을 증명할 수 있다. 우리는 또한 날days의 수만큼 많은 해years가 있다는 것도 증명할 수 있다. 칸토어가 증명한 바에 따르면, 무한집합들은 크기가 동일하다.

칸토어의 수학에 관한 철학적 연구는 고대 그리스의 수학과 유대인의 수비학에 뿌리를 두고 있다. 유대인의 수비학은 카발라로 알려진 신비주의 연구에서 찾아볼 수 있다. 칸토어는 무한을 표현할 때 헤브라이어 알파벳 첫 문자인 알레프라는 기호를 사용했다. 부수적으로 신을 연상하게 하는 의미가 깃들여 있는 알레프는 모든 양의 정수를 합한 신비한 수라고 말할 수 있다. 그러나 알레프는 마지막 양의 정수가 아니다. 왜냐하면 마지막이란 존재하지 않기 때문이다. 알레프는 항상 접근 중인 궁극의 수이다―1이라는 수 이전에 최후의 분수가 없는 것처럼.

 

목차

0. 할레
1. 고대 무한의 기원
2. 카발라
3. 갈릴레오 갈릴레이와 볼차노
4. 베를린
5. 원을 정사각형으로 만들기
6. 학생시절
7. 집합론의 탄생
8. 최초의 원 ...129
9. "나는 그것을 안다, 그러나 그것을 믿지 않는다"
10. 악의적인 반대
11. 초한수
12. 연속체 가설
13. 셰익스피어와 정신병
14. 선택공리
15. 러셀의 패러독스
16. 마리엔바트 온천장
17. 오스트리아 빈의 카페
18. 1937년 6월 14일과 15일 밤
19. 라이프니츠, 상대성, 그리고 미국 헌법
20. 코언의 증명과 집합론의 미래
21. 할루크의 무한한 광채

부록 : 집합론의 여러 공리

저자 소개 

역 : 승영조

 

1991년 중앙일보 신춘문예 문학평론 부문에 당선했다. 번역서로 다수의 소설 외에 『동물의 무기』, 『전쟁의 역사』, 『우주와의 인터뷰』, 『아인슈타인 평전』, 『무한의 신비―수학, 철학, 종교의 만남』, 『통증 유발자, 마음』, 『초등 수학 이렇게 가르쳐라』, 『저술 출판 독서의 사회사』 등이 있고, e북 번역 해설서로 아리스토텔레스의 『시학』이 있다. 지은 책으로 『창의력, 꽃에게 길을 묻다』가 있다.

저자 : 애머 액젤

『신의 방정식: 아인슈타인, 상대성, 그리고 팽창하는 우주God's Equation: Einstein, Relativity and the Expanding Universe』, 『페르마의 마지막 정리Fermat's Last Theorem』, 외 다수의 책을 펴낸 과학전문 저술가이자 수학자이다. 그의 저서들은 프랑스, 독일, 이탈리아, 중국, 스페인 등 전 세계에서 출간되었다.

 

역자 : 신현용

서울대학교 사범대학 수학교육과 졸업. 동 대학원 수학교육과 석사. 미국 알라배마 대학원 수학과 박사. 네델란드 국립수학연구소(CWI)방문교수. 해군 제2사관학교 수학교관(해군대위) 역임. 한국교원대학교 수학교육연구소 소장 역임. 현재 한국교원대학교 수학교육과 교수. 번역서로는 『우리 수학자 모두는 약간 미친 겁니다』와『뷰티풀 마인드』등이 있다.

 

 

YES24 리뷰

김정희 candy@yes24.com

무한은 무엇이며 어떻게 연구되어 왔는가? 『무한의 신비』는 중국의 철학자 장자가 “至大無外, 至小無內”(지극히 큰 것에는 밖이 없고, 지극히 작은 것에는 안이 없다)라는 말로 설명하기도 한 `무한'이라는 개념이 수학사에 어떤 위치로 자리매김되었으며 수학에 어떤 영향을 미쳤는지, 그리고 이 개념이 어떻게 증명이 되었는지 탐구한 책이다.

무한은 기원전 5~6세기에 고대 그리스인들이 발견했다.(그 증거로 제논의 유명한 아킬레스와 거북이야기가 있다. “고대인 가운데 가장 발이 빠른 아킬레스에 비하면 거북은 너무 느리기 때문에 아킬레스보다 앞에서 출발한다. 거북이 처음 출발한 지점에 아킬레스가 쫓아갈 무렵이면 거북은 얼마간 더 기어갔을 것이다. 거북이 더 기어간 거리만큼 아킬레스가 쫓아갈 무렵이면 거북은 또 얼마간 기어갔을 것이다.” 이런 식의 논법이 무한히 계속 되면 아킬레스는 결코 거북을 따라잡을 수 없을 것이다. 이와 같은 제논의 패러독스에는 무한의 개념이 담겨 있다.) 이후 피타고라스, 플라톤 등이 무한을 연구했고, 중세 시대에 이르러서는 인간이 범접할 수 없는 신의 영역으로 여겨져, 깊이 다루는 것을 금기시하기도 했으나 유대 신비주의(카발라)는 무한의 개념을 수준 높게 발전시켰다. 이후 갈릴레오, 0과 1 사이에 있는 수가 0과 2 사이에 있는 수만큼 많다는 것을 증명한 체코의 성직자 베른하르트 볼차노, 카를 바이어슈트라스 등에 의해 무한의 개념은 계속 발전되었지만, 무한에 관한 중요한 진실을 제대로 이해한 최초의 수학자는 현대 집합론의 창시자 게오르크 칸토어(1845~1918)이다. 『무한의 신비』는 칸토어의 생애를 중심으로 전개된다.

“무한 너머에는 또 다른 무한이 있다. 크기가 같은 무한도 있지만, 크기가 다른 무한도 있다. 하지만 가장 큰 무한은 있을 수 없다. 가장 큰 무한을 말하는 순간 그 무한 너머에 있는 더 큰 무한을 말할 수 있기 때문이다”와 같이 무한의 속성을 구체적으로 해명하고, “실무한”의 개념을 확립하여 무한을 체계적으로 다루게 된 후 수학의 지평은 크게 넓어졌다. 이러한 적극적인 접근으로 인해 선택 공리의 문제, 연속체 가설의 문제 등 추가적인 문제도 등장했으며 러셀의 역설 같은 다양한 역설도 등장하며, 수학계는 보다 활발해졌다. 또한 칸토어 이후 수학자들은 집합론, 함수 이론 등을 점점 발전시켜 나갈 수 있었으며, 지금은 무한을 효과적으로 다룰 수 있게 되었다. 때문에 현대 수학에 지대한 업적을 남긴 독일의 수학자 힐베르트는 칸토어를 높이 평가하여 “칸토어가 우리를 수학의 낙원으로 인도하였다”고 말했다고 한다.

칸토어는 양극성 장애(흔히 조울증이라고 일컬어진다)라고 진단 내려진 정신병에 걸려 정신병원에 입원하기를 반복하다가 결국 병원에서 사망한다. 병에 걸렸을 때 칸토어는 `칸토어의 연속체 가설'이라고 알려진 것에 사로잡혀 있었다고 한다. 어쩌면 무한으로 인해 병을 얻었을지도 모르는 칸토어의 묘지 기념판에는 그의 가장 깊은 신념이라고 할 수 있는 문장 “수학의 본질은 자유에 있다”가 적혀 있다고 한다.

『무한의 신비』는 수학에서도 여전히 가장 규명되기 어렵다는 무한에 대해 다루기 때문에 수학 전문 저자의 편한 서술에도 불구하고 쉽지는 않다. 그러나 `무한'을 본격적으로 다룬 책으로는 흔하지 않은 책이기 때문에 수학을 공부하는 학생이나 연구자들에게는 큰 즐거움을 줄 수 있을 것이다.

 

책 속으로

수에는 순서가 있다. 두 개의 임의의 분리된 수, a와 b가 있을 때, 이것은 a>b이거나 b>a이다. 그러나 여기에는 곤혹스러운 속성이 있다. 즉, 주어진 어떤 수에 대한 다음 수는 없다. b가 a보다 크다면, 둘 사이에는 어떤 거리가 있다. 그 거리를 2로 나눈 값을 a에 더하면 우리는 a와 b사이의 새로운 수를 얻을 수 있다. 예를 들어,5.01과 5의 중간에는 5.005라는 수가 있다.여기서 우리는 또 5와 5.005 사이의 새로운 수를 얻을 수 있고, 이런 일을 계속할 수 있다. 따라서 5의 "다음"수는 존재하지 않는다. 수들은 무한히 조밀해서, 항상 다른 수보다 더 큰 수가 있지만, 어떤 수에서 더 큰 수로 넘어가는 다음 수는 없다.