어떻게 문제를 풀 것인가 (2024) - 불확실성의 함정에 빠지지 않는 인생을 위한 수학

책소개

“당신이 어디로 가야 할지 수학은 알고 있다!”
우연과 직감, 편견에 속지 않고 삶의 복잡한 문제들을 헤쳐나가는 법

* 짐 알칼릴리, 필립 볼, 팀 하포드 등 세계적 석학들이 격찬한 책
* 서울대 수학교육과 최영기 교수, 성균관대 물리학과 김범준 교수, 과학 커뮤니케이터 궤도 강력 추천!

우리는 삶이 불확실하다는 사실을 이미 잘 알고 있다. 그래서 미래를 내다보고 싶어 한다. 앞날을 조금이라도 예측할 수 있다면 변수로 가득한 인생에서 비교적 안전한 선택을 할 수 있을 테니 말이다.

전작 『수학으로 생각하는 힘』에서 우리 주변에 숨어 있는 수학적 원리와 규칙을 유쾌하게 풀어냈던 키트 예이츠가 이번에는 불확실한 삶을 좀 더 영리하게 살아가기 위해 수학을 활용하는 법을 소개한다. 우리가 흔히 겪지만 쉽게 알아채지 못하는 인지 오류의 사례들을 수학자의 시선으로 하나하나 분석함으로써 그가 전하려는 메시지는 분명하다. 어느 길로 가야 할지 헷갈릴 때 수학만큼 명쾌하고 타당한 답을 주는 도구도 없다는 것!

특유의 위트로 무장한 수학자의 외침을 부디 외면하지 않길 바란다. 여러분의 생각 구조에 수학이 끼어드는 순간, 우연 혹은 운이라고 넘겼던 삶의 조각들이 논리적으로 이해되는 새로운 경험을 하게 될 것이다. 그리고 그 경험은 우리가 인생의 방향을 보다 올바르게 잡는 데 중요한 기준이 되어줄 것이다.

목차

추천의 글
들어가며│예상 밖의 문제를 예상하는 법

1장 직감 - 당신이 길을 잃게 만드는 무의식 속 방해자

무작위성은 어떻게 우리의 눈을 가리는가 · 누구한테나 통하는 것: 바넘 진술과 포러 효과 · 정서적 뇌물로 마음 열기 · 의미 있어 ‘보이는’ 우연 · 인상적일수록 강해지는 착각 · 그럴듯한 짐작을 위한 낚시 여행 · 믿고 싶어서, 믿기 위해서: 기억편향 · 사라지는 부정어들 · 웜리딩과 핫리딩 · 예언자, 점쟁이 혹은 사기꾼 · 직감에 현혹되지 말 것

2장 우연 - 존재하지 않는 관계가 존재한다고 믿어버리면

과학, 우연의 일치를 읽어내다 · 패턴을 찾아냈다는 오해 · 충분히 많은 기회가 주어지면 예감은 현실이 된다 · 당신일 수 있다(하지만 아마도 아닐 것이다): 복권 · 일어날 경우의 수를 과소평가하지 말 것 · 상관착각의 덫에 빠지지 않을 준비

3장 불확실성 - 결정하기 전에 알아야 하는 것들

어떻게 확신할 수 있을까? · 완벽한 예측과 선택적 드러내기 · 점쟁이 동물들의 진실 · 승리를 극대화하는 방법 · 나는 정말로 자유로운 선택을 했을까? · 인생의 모든 일을 주사위 굴리기로 결정한다면 · 식사 메뉴를 정하지 못하는 사람들: 분석 마비 · 가장 좋은 것은 좋은 것의 적이다

4장 마음 바꾸기 - 논리적으로 생각하기의 시작

숫자 ‘1’을 조심하라 · 어느 수표위조범의 실수 · 아는 것이 힘이다 · 아무도 예측하지 못한 대지진 · 믿음은 수정되어야 한다: 베이즈의 정리 · 교훈 1│새로운 증거가 만능은 아니다 · 교훈 2│다른 관점을 고려한다 · 교훈 3│점진적으로 바꿔나간다 · 불확실성에 대처하는 법

5장 게임 - 최상의 전략과 최고의 이익

게임의 규칙 · 충돌에는 비용이 따른다 · 협력과 배신 상의 눈치 싸움: 죄수의 딜레마 · 때로는 일어나지 않은 사건들이 역사를 바꾼다 · 누구도 무기를 쓸 수 없는 상황 · 한 가지 전략만 고수하지 말 것 · 삼인조 결투의 세계 · 공동의 자원을 대하는 자세: 공유지의 비극 · 공유지를 지키기 위한 새로운 규칙 · 최상의 자동차 구매 전략 · 모두가 이기는 게임이 가능할까?

6장 커브볼 - 우리는 왜 자꾸 뜻밖의 상황에 놓일까?

커브볼에 당황하는 이유: 선형적 사고 · 호락호락하지 않은 주식시장 · 자외선차단제와 반비례 관계 · 역시, 아는 것이 힘이다 · 더 클수록 더 세게 떨어진다: 제곱-세제곱 법칙 · 너무 커서 쓸모없어진 탱크 · 비선형적 세상

7장 눈덩이 - 작은 눈뭉치가 순식간에 거대해지는 과정

양의 되먹임 고리와 전염병 · 제어 불가능한 눈덩이 · 이름과 직업의 상관관계: 자기실현적 예언 · 플라세보, 치료받고 있다는 믿음만으로도 · 정보를 차단하는 게 더 낫다? · 생각이 일으키는 감염

8장 부메랑 - 당신의 예상이 빗나가는 이유

코브라와 양귀비와 기차 선로: 왜곡된 유인 · 무분별한 목표는 부메랑이 된다 · 딥러닝 알고리즘의 허점 · 그렇다면 어떤 모형이 가장 적절한가 · 바이러스의 확산을 막은 ‘틀린 예측’: 자기파괴적 예언 · 언더독, 승자가 되다 · 음의 되먹임 고리와 팬케이크 굽기

9장 한계 - 불확실성을 인정할 때 열리는 세계

비선형적 세상에 수학이 필요한 이유 · 재난 경보에 귀 기울이지 않는 사람들: 정상화 편향 · 날씨에 관한 어림짐작 규칙 · 정말로 기상청이 무능할까? · 악마는 디테일에 있다 · 일상 곳곳에 존재하는 카오스 · 덜 나쁜 결과를 위한 수학

나오며│세상의 불확실성에 내기를 걸다
감사의 말
주

 

저자 소개 

저 : 키트 예이츠 (Kit Yates)

 

옥스퍼드대학교에서 수학 박사 학위를 받았고, 지금은 배스대학교에서 수리과학과 교수 겸 수리생물학센터 공동 책임자로 일하고 있다. 그의 연구는 배아 발생에서부터 메뚜기가 무리를 짓는 방식, 수면병, 알껍데기의 무늬 패턴에 이르기까지 현실 세계의 온 갖 현상을 설명하는 데 수학이 어떻게 쓰일 수 있는지를 보여주 며, BBC와 《가디언》 《텔레그래프》 《데일리 메일》 《사이언티픽 아메리칸》 등에 소개되었다. 특히 생물...

역 : 노태복

한양대학교 전자공학과를 졸업했다. 환경과 생명운동 관련 시민 단체에서 해외교류 업무를 하던 중 번역의 길로 들어섰다. 과학과 인문의 경계에서 즐겁게 노니는 책들 그리고 생태적 감수성을 일깨우는 책들에 관심이 많다. 옮긴 책으로 『꿀벌 없는 세상, 결실 없는 가을』, 『생태학 개념어 사전』, 『생각하는 기계』, 『진화의 무지개』, 『19번째 아내』, 『우주, 진화하는 미술관』, 『우리는 미래에 조금 먼저 도착했습니...

책 속으로

우리가 일상생활에서 흔히 경험하지만 제대로 이해하기 어려운 현상들이 있는데, 그중 가장 중요하면서도 아리송한 두 가지가 확률과 비선형성이다. 우리는 불확실성의 구름 속을 꿰뚫어 보거나 도로의 굽은 곳에서 무엇이 튀어나올지 알아내는 능력을 선천적으로 타고나지 않았다. 따라서 앞으로도 내가 계속 주장하겠지만, 수학이 우리의 예측 시도의 중심에 놓여야 한다. 단순명쾌한 이유 하나를 대자면, 수학이야말로 우리의 생물학적 결점을 피할 객관적 도구를 제공하기 때문이다.
--- p.16

미래에 관해 믿을 만한 예측을 내릴 수 있는 상황이 많은 데도, 우리가 예측의 수단을 모르거나 그 수단을 이용할 권한이 부족하다고 여겨서 실패하는 경우가 있다. 이 책의 핵심은 다음과 같다. 과거의 빗나간 진단에서 교훈을 얻고, 그 교훈을 무기로 삼아 미래에 관해 더욱 믿을 만한 예측을 하자. 마지막 장을 마칠 즈음이면 여러분은 숨어서 기다리고 있는, 언뜻 불확실해 보이는 사건들을 둘러싼 안갯속을 선명하게 내다볼 수 있을 것이다.
--- p.29

명칭은 빈도 착각(frequency illusion)이다. 이것은 새로운 무언가를 알고 나서 그게 온갖 장소에서 점점 더 자주 나타나는 것처럼 보이는 현상을 가리킨다. 단어나 문구가 특이하고 인상적일수록 효과는 더 강해진다. ‘이제껏 평생 이 표현을 한 번도 만난 적이 없었는데 이젠 한 주에 세 번이나 마주치는 일이 어떻게 가능하지?’ 하고 여러분은 스스로에게 묻게 된다. 이 우연의 일치는 대단히 일어나기 어려워 보이기에, 여러분은 그걸 설명하려고 그럴듯한 논리를 찾아 나서게 될 수 있다.
--- p.63

스티브 잡스는 아이팟에 ‘스마트 셔플(smart shuffle)’이란 새 기능을 구현했다. 재생되는 다음 곡은 이전 곡과 너무 비슷하지 않게 정하는 기능이다. 무작위성이 어떤 모습인지 우리가 잘못 생각하는 성향을 어느 정도 감안해 내놓은 결과다. 잡스는 이렇게 요약했다. “우리는 더 무작위적이라고 느끼게 하려고 그걸 덜 무작위적이게 만들고 있다.”
--- p.110

본질적으로 무작위 과정에 결정을 맡기면 인간이 내리는 의사결정에 필연적으로 생기는 반복성을 피할 수 있다. 덕분에 숲의 특정 지역에서 먹잇감이 고갈될 가능성이 줄어들며, 아울러 사냥당하는 동물들이 인간이 선호하는 사냥 지역을 알게 되어 그런 지역을 고의로 피할 가능성도 줄어든다. 이처럼 무작위성을 이용해 예측 가능성을 피하는 행위를 가리켜 수학 용어로 혼합 전략(mixed strategy)이라고 한다.
--- p.172

넬슨의 수표 금액들을 분석했더니, 10만 달러 제한 금액에 너무 가깝다는 사실이 드러났다. 그의 수표 중에서 90퍼센트 넘는 비율이 7만 달러를 초과한 금액에 대한 것이었는데, 이에 비해 벤포드 법칙을 따르는 진짜 수표들로부터 예상되는 7만 달러 초과 금액의 비율은 대략 15퍼센트였다. 이런 일이 자연스럽게 우연히 일어날 확률은 대략 1000조 분의 1이다. 매년 발행되는 수표의 가능한 집합이 매우 많다는 점까지도 고려하면, 이 낮은 확률은 넬슨의 행동이 사기일 가능성이 지극히 높다는 뜻이었다.
--- p.189

각 당사자가 자신의 이익을 위해 얻고 싶어 하는 공동의 유한한 자원-이 경우에는 바다의 물고기-을 놓고 벌이는 다자간 게임의 결과를 가리켜 종종 공유지의 비극(tragedy of the commons)이라고 한다. 자원을 최대한 많이 얻으면 개별 참가자의 단기적 이익에 부합하는 듯 보인다. 하지만 전부 이렇게 행동한다면, 자원이 고갈되어 결국에는 모두가 손해를 입는다. 이것은 거대한 규모로 벌어지는 죄수의 딜레마라고 할 수 있다.
--- p.264

대체로 우리는 알아차리지 못하지만, 일상에서 겪는 가장 중요한 관계 다수가 비선형적이다. 하지만 선형성의 개념이 아주 일찍부터 너무 깊이 우리 안에 박혀 있는지라, 때때로 우리는 다른 관계가 존재할 수 있음을 잊고 만다. 반복함수학습 실험에서 보았듯이 이런 생각이 너무나 뿌리박힌 나머지, 두 변수 사이의 관계란 으레 서로 정비례한다고 우리는 무의식적으로 상정해 버린다.
--- p.329

지수적 증가란 급속한 증가라고 흔히들 오해한다. 하지만 늘 그렇진 않다. 전염병의 발생 초기 단계에서 지수적 증가는 우리를 방심시킬 정도로 느릴 수 있다. 발병 건수가 적을 때는 증가하는 정도도 낮다. 하지만 금세 상황이 믿을 수 없을 정도로 속수무책이 될 수 있다. 만약 여러분이 실제 상황보다 여유가 넉넉하다고 여긴다면, 그런 사태는 특히 위험하다.
--- p.342

자기파괴적 예언과 언더독 효과는 음의 되먹임 고리(negative feedback loop)라는 더욱 일반적인 현상의 사례들이다. 음의 되먹임 고리는 승산을 균등하게 하는 작용을 통해, 계를 안정화시키거나 현재 상태를 유지시킨다. 자기파괴적 예언은 일련의 사건들을 불러오고, 그 사건들이 결국 예언이 일어나기 어렵거나 불가능하게 만든다.
--- p.424

절대적으로 확실하게 미래에 생길 일을 안다는 사람은 누구라도 조심해야 한다. 만약 ‘확실한 것’ 내지 ‘절대적으로 확실한 것’ 같은 말을 해대는 사람들, 즉 자신의 시스템을 확신하고 불확실성의 정도를 조금도 인정하지 않는 사람들을 추종한다면, 우리는 상황이 예상 밖으로 펼쳐질 때 필시 깜짝 놀랄 것이다.

--- p.482

출판사 리뷰

“행운에도 불운에도 속지 말 것!”
우리가 자꾸 뜻밖의 상황에 놓이는 이유

과학의 꾸준하고 비약적인 발전으로 인간은 가장 높은 가능성을 계산해낼 수 있게 되었다. 그런데 최신 지식과 첨단 기술을 아무리 동원해도 예측은 빗나가고 곳곳에서 변수들이 등장한다. 이상한 일이다. 우리는 이미 충분히 과학적으로 살고 있는데, 왜 인생은 자꾸 예상 경로에서 벗어날까? 해결할 수 없는 물음표 앞에서 우리는 종종 ‘우연’이나 ‘운’이라는 말로 이를 뭉뚱그리곤 한다. 이를 두고 수학의 시선으로 생명과 자연현상을 분석하는 수리생물학자 키트 예이츠는 이렇게 말한다.

“인간은 애초에 불확실성의 구름 속을 꿰뚫어 볼 능력을 가지고 태어나질 못했다! 그러니 결정과 판단을 내릴 때 수학이란 도구가 필요하다.”

생각에도 관성이 있다?
선형적 사고의 늪에서 빠져나오는 법

예이츠의 말을 이해하려면 먼저 인간 두뇌가 ‘패턴’을 얼마나 좋아하는지 알 필요가 있다. 어린 시절 가족 또는 친구와 하늘에 떠 있는 구름을 보면서 ‘저 구름은 헤엄치는 거북이를 닮았어!’ ‘아니야, 저건 커다란 팽이야!’ 하는 식의 대화를 나눠본 적이 한 번쯤은 있을 것이다. 사실 그때그때 모양이 바뀌는 수증기 덩어리일 뿐이라는 것을 알면서도 말이다. 이처럼 우리 뇌는 무작위적인 것에서 익숙한 패턴을 찾아내려는 습성이 있다.

이는 다시 ‘선형적 사고’와 연결된다. 선형적(linear)이란 한 변수가 고정된 양만큼 변하면 다른 변수도 늘 고정된 양만큼 변한다는 뜻이다. 패턴을 사랑하는 우리의 뇌는 지금 눈앞의 어떤 데이터가 선형적이면 앞으로도 계속 선형적일 거라고 믿어버린다. 사실 명백한 근거는 하나도 없는데도 아주 자연스럽게 잘못된 지름길로 사고의 방향을 잡는다. 그렇게 선형적 편향에 빠지는 순간, 난데없이 방향을 틀어 날아오는 커브볼들이 우리의 뒤통수를 치고 마는 것이다. 그럴 때 우리는 외친다. “세상에 생각대로 되는 일이 하나도 없어!”

“수학으로 생각하면 문제의 틈이 보인다”
인생의 수수께끼 앞에서 가장 필요한 논리적인 힘

선형적 편향 외에도 일상에서 흔히 겪지만 쉽게 알아채지 못하는 인지 오류의 사례들은 셀 수 없이 많다. 예이츠는 그 오류의 사례들을 수학자의 시선으로 하나하나 분석해나간다. 점쟁이의 화술에 넘어가는 과정, 복권 당첨번호를 확률로 따지는 일이 무의미한 이유, 재난 경보에 귀 기울이지 않는 사람들, 내가 산 주식만 하한가를 치는 것 같은 기분, 엉뚱한 답을 내놓는 인공지능 알고리즘 등 가장 친근한 이야기들에 특유의 유머 감각을 더해서 수학적 사고의 세계를 즐겁게 누빌 수 있도록 안내한다.

이 책을 통해 예이츠가 전하려는 메시지는 분명하다. 어느 길로 가야 할지 헷갈릴 때 수학만큼 명쾌하고 타당한 답을 주는 도구도 없다는 것! 부디 이 간절한 외침을 외면하지 않길 바란다. 여러분의 생각 구조에 수학이 끼어드는 순간, 우연 혹은 운이라고 넘겼던 삶의 조각들이 논리적으로 이해되는 새로운 경험을 하게 될 것이다. 그리고 그 경험은 우리가 인생의 방향을 보다 올바르게 잡는 데 중요한 기준이 되어줄 것이다.

추천평

모두가 체감하다시피, 오늘날 세상은 아주 빠르게 변화하고 있다. 어제의 답이 오늘의 답은 아닌 경우가 비일비재하고, 공들인 예측과 계획이 어긋나는 일은 셀 수 없다. 이 책은 그런 불확실의 세상에서 살아남는 데 수학적 사고가 얼마나 유용한지 다룬다. 현실적이고 다채로운 예시들로 풀어낸 명확성의 가치와 직관의 향상, 편견의 극복에 관한 이야기들은 무척이나 흥미롭다. 특유의 유머 감각으로 무장한 저자는 독자가 수학적 사고의 세계를 보다 즐겁게 누빌 수 있도록 안내한다. 그동안 수학에 대해 막연한 거리감을 느끼던 이들이라면 이 책을 통해 그 장벽이 허물어지고 수학과 훨씬 가까워지는 새로운 지적 경험을 할 수 있을 것이다.
- 최영기 (서울대학교 수학교육과 교수, 『이토록 아름다운 수학이라면』 저자)

우리는 늘 미래를 예측한다. 많은 예측이 결국 틀린 것으로 판정되지만, 틀린 예측에서 교훈을 얻고 새로운 경험을 반영해 다음에는 더 나은 예측을 하는 노력은 꼭 필요하다. 이 책은 수학적인 사고방식을 이용해 미래를 올바로 예측하는 법을, 제대로 알고 있다면 피할 수 있는 다양한 인지적 편향과 함께 소개한다. 점술가가 무지개 술책과 확증편향을 이용해 우리의 믿음을 얻는 방법, 서울에 사는 사람 중에 머리카락 숫자가 정확히 같은 사람들이 있을 수밖에 없는 이유, 로또 1등 당첨 상금을 높이는 법, 회계 부정을 찾아내는 기술도 이 책을 보면 알 수 있다. 50% 떨어진 주가는 50%가 아니라 100% 올라야 본전이고, 자외선차단지수가 각각 30과 50인 두 자외선차단제의 효과는 별반 다르지 않다는 것도 재밌다. 많은 사례를 곁들인 저자의 친절한 안내를 따라, “확률의 구름을 헤쳐나갈 이성의 길을 따라가면서 세계의 구조를 깊이 들여다보자.” 불확실성 앞에서도 논리적으로 사고하는 틀인 수학은 현대인의 핵심 교양이 되어야 마땅하다.
- 김범준 (성균관대학교 물리학과 교수, 『보이지 않아도 존재하고 있습니다』 저자)

미래를 누구보다 먼저 알아낼 수 있다면 어떨까? 앞으로 다가올 일을 미리 알거나 짐작하여 말하는 것을 우리는 예언이라고 말한다. 일반적으로 예언은 정확하게 결과를 맞혔을 때 의미가 있으며, 그렇지 않은 모든 주장은 외면당하고 잊힐 뿐이다. 물론 도출된 결과를 놓고 반대로 끼워 맞추는 방식이 주로 사용되다 보니 예언이 실제로 힘을 발휘하는 경우는 매우 드물다. 하지만 과학에서 말하는 예측은 예언과 전혀 다르다. 과학자들은 항상 자신이 틀렸다는 사실을 확인하기 위해 수학적인 예측을 시도하며, 불확실한 결과를 바탕으로 다음 단계로 나아가기 위한 흥미로운 아이디어를 끊임없이 제시한다. 매일같이 인생이 던지는 문제를 풀어내야 하는 우리에게 올바른 방향에 합리적인 당위성을 부여하는 예측만큼 중요한 것도 없다. 그리고, 수학적 예측에 관한 모든 지식과 기술이 바로 이 책에 담겨 있다.
- 궤도 (과학 커뮤니케이터, 『과학이 필요한 시간』 저자)

예측의 빛과 어둠에 대한 생생하고 광범위하며 유쾌한 가이드.
- 팀 하포드 (경제학자, 『경제학 콘서트』 저자)

예이츠의 글은 복잡하고 혼란한 세계에서 절실히 필요한 명확성의 표지다. 어떻게 하면 우리는 스스로의 편견을 극복하고, 우연을 이해하고, 자신의 직관에 신뢰성이 없음을 극복할 수 있을까? 예이츠는 친숙한 예들을 풍부하게 들며 우리 삶에 깊이 뿌리내린 고장 난 생각들을 부드럽고 설득력 있게 뒤집어 놓는다.
- 짐 알칼릴리 (서리대학교 이론물리학과 교수, 『과학의 기쁨』 저자)

키트 예이츠는 모든 사람들이 배워야 하는 수학을 접근하기 쉽고 재미있으며, 자극적이면서도 우리 삶에 깊이 연관 지어 소개한다. 이 책을 읽고 나면 더 나은 판단과 결정을 내릴 수 있고, 허풍쟁이와 사기꾼을 꿰뚫어 볼 수 있다. 심지어 스스로를 덜 속이게 되기도 한다.
- 필립 볼 (과학 저술가, 『물리학으로 보는 사회』 저자)

지극히 사려 깊고 조리 있으면서도 이해하기 쉬운 통찰력으로 현실 속의 수학을 들여다보는 책.
- 알렉스 벨로스 (수학 및 과학 저술가, 『수학이 좋아지는 수학』 저자)

『어떻게 문제를 풀 것인가』는 흥미롭고 유쾌하며, 명료하면서도 생동감이 넘친다. 많은 사람들과 마찬가지로, 나는 수학을 실제로 어떻게 하는지 몰라도 수학에 대해 읽는 것을 좋아하는데, 이 책을 읽는 즐거움 중 하나는 일상생활에서 찾을 수 있는 다양한 예시들이다. 이 책은 정말 훌륭하다!
- 필립 풀먼 (소설가, 『황금나침반』 저자)

마음속 편견에 관한 예이츠의 연구는 재치 있으면서도 흥미롭다. 현실 세계에서 유용한 수학을 찾는 독자에게 이 책만큼 보장된 선택지도 없을 것이다.
- 퍼블리셔스 위클리

예이츠와 함께 떠나는 예측 세계로의 여행은 흥미진진하다. 그는 넘치는 유머 감각으로 우리를 안내한다.
- 커커스 리뷰

예이츠의 글쓰기 스타일은 많은 사람들이 수학에 대해 가지고 있는 건조하고 답답하다는 인식을 예술적으로 불식시키며, 우리에게 전염성 있는 열정을 불어넣어준다. 이 책은 더 나은 선택을 하고 불확실한 상황의 함정을 피하는 데 필요한 수학을 담고 있다. ‘수학은 쓰레기야’라고 믿는 사람들조차 이 책을 통해 자신의 내면에 잠재되어 있던 수학을 이해하는 능력을 발견할 수 있을 것이다.
- 피직스 월드